Александр Бабаков родился в Кишиневе. Окончил МГУ им. М.В. Ломоносова по специальности политэкономия и аспирантуру МГУ. Обладает степенью кандидата экономических наук. С 2014 года является Президентом Федерации настольного тенниса России, и, согласно его резюме, имеет многочисленные награды, установленные Указами Президента России: «Орден Дружбы», 2008 г., «Орден Почета», 2017 г., «За заслуги перед Отечеством» IV степени, 2020 г.

В данный момент является заместителем председателя Государственной Думы России и депутатом от фракции «Справедливая Россия-За Правду», которая представлена 28 депутатами из 447 депутатов Государственной Думы. Он находится на своем четвертом сроке в качестве депутата, после трех других сроков, проведенных в законодательных органах IV, V и VI созывов.

На протяжении четырех лет он был директором зарегистрированной в Чехии компании по оказанию коммерческих услуг и сервиса - «Albion CZ Spol» s r.o., которая была ликвидирована в 2014 году.

Согласно «Панамским документам», с апреля 2007 года по сентябрь 2011 года, будучи депутатом Государственной Думы, Бабаков владел 100% акций «AED International» Ltd, офшорной компании на Британских Виргинских островах. В сентябре 2011 года он продал компанию своей 23-летней дочери Ольге.

Официальные документы «AED International», полученные «Центром по исследованию коррупции и организованной преступности», показывают, что Бабаков являлся одним из совладельцев украинской энергетической компании «VS Energy» с оборотом в 2015 г. - 235 миллионов долларов. Некоторые дочерние предприятия энергохолдинга зарегистрированы в Литве, Люксембурге и Нидерландах, а управляются из Украины и России.

В 2012 году Бабаков оказался в центре скандала в Украине. Обнаружилось, что ему удалось заполучить, зачастую путем рейдерских атак, все ключевые отели в центре Киева: «Русь», «Премьер Палас», «Президент Отель», «Днепр». Также проводилось судебное разбирательство за владение отелем «Славутич».

В 2016 г. журнал «Фокус» включил Бабакова в топ-100 самых богатых украинцев с состоянием в 91 миллион долларов (53-е место).

Согласно государственному реестру Франции, семья Бабаковых владеет роскошным особняком недалеко от Версаля, бывшей резиденции французских королей.

В 2012 году Путин назначил Бабакова специальным представителем Президента Российской Федерации по взаимодействию с организациями соотечественников за рубежом. Французская пресса писала, что, когда Бабаков занимал этот пост, он финансировал французскую ультраправую партию «Народный фронт». Партия получила первый транш кредита в размере 9 миллионов евро от Первого чешско-российского банка.

После того, как 20 марта 2014 года Бабаков проголосовал за принятие законопроекта об образовании нового субъекта федерации - Республики Крым из Автономной Республики Крым в составе Украины, путем присоединении ее к России, он попал под санкции Европейского союза, Канады и Швейцарии. В 2017 году санкции были введены США, а в марте 2022 года - Великобританией.

О его политических связях в Украине украинская пресса писала, что Бабаков приехал в Украину в конце 90-х и был одним из лидеров ОПГ «Лужники». Группа вела бизнес путем насильственного присвоения, пыток, угроз и похищений. С помощью российского посла Виктора Черномырдина и первых идеологов «Русского мира», они создали «Русский клуб», в который вошли также Кучма, Медведчук и Янукович.

В 2020 году Бабаков задекларировал доход почти в 500 миллионов рублей, что эквивалентно более 3 миллионам евро. Кроме этого, была указана недвижимость площадью 352 м2 и земли сельскохозяйственного назначения.

Спустя почти месяц после единогласного голосования в Государственной Думе России по проекту признания независимости Луганской (ЛНР) и Донецкой (ДНР) Народных Республик и вторжения России в Украину, Бабаков назвал признание независимости двух республик историческим событием, на которое много лет надеялись люди, находившиеся под гнетом враждебной государственности.

«Факт признания республик является важнейшим, но лишь первым и одним из многих шагов, которые предстоит предпринять» - сказал он в ходе многосторонней встречи представителей науки и образования от ДНР и ЛНР в Госдуме.