Și-a început cariera din funcțiile de curier și de grefier, iar din 1990 face parte din corpul magistraților. În 2000 este promovată la Curtea de Apel, iar din 2003 este numită, prin transfer, la Curtea de Apel Chișinău (CA Chișinău). Peste zece ani ajunge în fotoliul de vicepreședintă a CA Chișinău, funcție pe care o deține până în prezent.

Nelea Budăi figurează printre judecatorii vinovați de condamnarea Republicii Moldova la Curtea Europeana a Drepturilor Omului (CtEDO). Potrivit datelor Agentului Guvernamental, puse la dispoziția Colegiului de Evaluare a Performațelor Judecătorilor pe lîngă Consiliul Superior al Magistraturii în 2013, Nelea Budăi „a figurat în mai multe procese naționale (7 dosare) care, ulterior, au fost finalizate printr-o hotărâre a Curții Europene a Drepturilor Omului (CtEDO).”

O mențiune similară o regăsim și în hotărârea Colegiului de Evaluare a Performațelor Judecătorilor din 2016, în care este menționat faptul că Nelea Budăi a făcut parte din completul de judecată care a permis violarea articolului 8 a Convenției Europene a Drepturilor Omului. Este vorba de cazul unei femei de 32 de ani sterilizată fără permisiunea ei în maternitate și care a primit compensații derizorii în instanțele naționale. CtEDO a dictat Republicii Moldova să-i plătească despăgubiri de 12.000 de euro.

Totodată, Nelea Budăi a făcut parte din completul de judecată care, în noiembrie 2015, a obligat Agenția Proprietății Publice să-i vândă companiei Finpar Invest SRL - cea mai veche afacere a fostului lider al Partidului Democrat din Moldova, Vladimir Plahotniuc, un lot de 1,17 hectare de pe teritoriul Moldexpo din Chișinău, teren pe care sunt amplasate studiourile holdingului General Media Group. Peste patru ani de procese, însă, Curtea Supremă de Justiție a respins definitiv cererea companiei de a cumpăra terenul dat.

Soțul magistratei a lucrat în ultimii ani la mai multe companii de pază și protecție. Printre ele și Klassika Force SRL, firmă parte a holdingului controlat de Ilan Șor, fostul primar de Orhei condamnat, în primă instanță, în dosarul „Jaful secolului”, la șapte ani și șase luni de închisoare.