В начале своей карьеры работала курьером и секретарем, а с 1990 года входит в судейский состав. В 2000 году была назначена судьей в Апелляционный суд, а в 2003 году переведена в Апелляционную палату Кишинева. Через десять лет стала вице-председателем Апелляционной палаты Кишинева и занимает эту должность до сих пор.
Неля Будэй входит в число судей, ответственных за обвинительные приговоры против Республики Молдова в Европейском суде по правам человека (ЕСПЧ). Согласно данным правительственного агента, предоставленным в 2013 году Коллегии по оценке деятельности судей при Высшем совете магистратуры, «судья Будэй фигурировала в ряде национальных процессов (7 дел), которые впоследствии завершились решением ЕСПЧ».
Аналогичная информация представлена и в решении Оценочной коллегии по оценке эффективности работы судей от 2016 года, в котором упоминается, что Неля Будэй входила в состав суда первой инстанции, который допустил нарушение статьи 8 Европейской конвенции о правах человека. Речь идет о случае 32-летней женщины, которую стерилизовали в роддоме без ее согласия, и которая по решению национального суда получила за это незначительную компенсацию. По этому делу ЕСПЧ обязал Республику Молдова выплатить женщине ущерб в размере 12 000 евро.

Кроме того, Неля Будэй входила в состав суда, который в ноябре 2015 года обязал Агентство публичной собственности продать фирме Finpar Invest SRL, —
старейшему бизнесу бывшего лидера Демократической партии Молдовы Владимира Плахотнюка – земельный участок площадью 1,17 га на территории Moldexpo, ан котором расположены студии телеканалов холдинга General Media Group. Спустя четыре года судебных разбирательств Высшая судебная плата окончательно отклонила претензии компании относительно покупки данного участка.

Супруг судьи в последние годы работал в нескольких охранных компаниях, в частности, в Klassika Force SRL, входящей в холдинг, контролируемый Иланом Шором, бывшим примаром Оргеева, которого суд первой инстанции приговорил к семи с половиной годам тюрьмы по делу о «краже века».